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サイモン・シン著『フェルマーの最終定理』をネタバレ解説！数学が苦手なあなたにも読んでほしい一冊！
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17世紀、ひとりの数学者が謎に満ちた言葉を残した。「私はこの命題の真に驚くべき証明をもっているが、余白が狭すぎるのでここに記すことはできない」以後、あまりにも有名になったこの数学界最大の超難問「フェルマーの最終定理」への挑戦が始まったが―。天才数学者ワイルズの完全証明に至る波乱のドラマを軸に、3世紀に及ぶ数学者たちの苦闘を描く、感動の数学ノンフィクション。
「BOOK」データベースより
『フェルマーの最終定理』
数学が苦手だという人も名前だけなら聞いたことがあるのではないでしょうか？
これは一見すると中学生レベルの数学を学んで人であれば誰でも分かるような簡単な式にも関わらず、三百年もの間、誰一人として証明することのできなかった問題です。
その難しさは悪魔ですら証明できないとしばしば言われ、多くの数学者たちがこの証明に挑み、敗れていきました。
本書では、そんなフェルマーの最終定理を誰にでも理解できるよう簡単に記し、それが生まれた背景、数学者たちが懸けたロマンまで網羅されています。
僕はフェルマーの最終定理という聞いたことがあるけれどよく知らない問題に惹かれ、本書を読んでとても感動しました。
学校の授業では全く惹かれなかったあの数学が、これ以上ないくらいに楽しそうに思えたのですから。
この記事では、フェルマーの最終定理の解説はもちろんのこと、それにまつわるエピソード、問題などについても言及したいと思います。
本書のネタバレになりますので、未読の方はご注意ください。
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フェルマーの最終定理とは？
まずは名前について。
フェルマーは生前、多くの定理を残し、後世の数学者たちによって次から次へと証明されていきましたが、ただ一つだけ証明できない定理がありました。
それこそフェルマーが残した最後の定理、『フェルマーの最終定理』です。
ただし、定理とはすでに正しいことが証明されたものを指すので、証明されるまでは『フェルマーの最終予想』が正しい名前になります。
三百年もの間、どんなに優れた数学者たちが挑んでも証明できなかったのだから、さぞ難しい問題なのだろうと考える人も多いと思いますが、これが一見、とても簡単そうなんです。
そのフェルマーの最終定理は以下の通りです。
xn + yn = zn
この方程式はnが2より大きい場合には整数解をもたない。
いかがですか？
ものの数分で証明できそうな気がしませんか？
ところが、そううまくはいきません。
かつて、ピュタゴラスは『直角三角形において、斜辺の二乗は他の二辺の二乗の和に等しい』、つまり『x2 + y2 = z2 』であることを証明しましたが、これはその難しさの比ではありません。
※a2 + b2 = c2という表記が一般的ですが、本書での表現に従いました。
数学では完璧が求められます。
そのため、たとえnを100まで順番に代入して成立しないことを証明しても、101が成立しないとは限りません。
もっといえば数字は無限に増えていくため、その全てにおいて成立しないことを証明しなければなりません。
たったこれだけの条件で、問題が途方もなく難しく感じられたのではないかと思います。
では、一体誰がどうやってフェルマーの最終定理を証明したのでしょうか？
フェルマーの最終定理の誕生から順番に説明していきたいと思います。
数学が文明に与えた多大なる影響
古代ギリシャにおいて、ピュタゴラスは自然現象は法則に支配されていて、その法則を数式で表せることに気が付きました。
例えば音楽で使う弦について、そのまま爪弾くと弦全体が震えて基音が鳴り、弦の真ん中を押さえると基音の一オクターブ上の音が出ます。
同様に弦の全長の三分の一、四分の一の点を押さえれば、それぞれ異なる調和する音が出ます。
また微分積分がありますが、これによって時間に対する距離の変化率を速度という概念で知られるようになり、科学の発展に大きく貢献します。
このようにただの数式が科学を発展させ、僕たちの生活をより良いものにしてきましたが、数学と科学には大きな違いがあります。
それは完全無欠かどうかという点です。
この点を説明するために、本書では対角線上の二つの角がとられた縦8マス×横8マスの計62マスのチェスボードを例に挙げ、これを31枚のドミノ牌で覆えるかという問題を出します。
科学では『合理的な疑問のすべてに答えられる』だけの証拠があれば正しいとみなされるので、何十通りも実験し、どれも覆えなければそれが正しいと結論付けます。
一方、数学では論理的な議論を展開し、疑問の余地のない結論を得ようとします。
結果として、数学で導き出した結論は永遠に揺るがず、その結果をもって新たな証明に役立て、次から次へと問題を証明していくことができます。
ただし、決して本書では『だから科学よりも数学が勝る』と言っているわけではないので、そこは誤解のないようお願いします。
フェルマーの残した最大の謎
さて、ここからが本題のフェルマーの最終定理です。
そもそもフェルマーとは1601年にフランスに生まれた人物で、正式な名前をピエール・ド・フェルマーといいます。
彼は役人として身を立て、数学とは無縁の生活を送っていました。
一方で、出る杭にならないようそつなく仕事をこなしながら、残ったエネルギーを趣味の数学に注ぎ込んでいました。
フェルマーはプロの数学者ではありませんでしたが、とても優れていて、一人で静かに新しい定理を創り出していました。
しかし、彼はそれを公表して世に認めてもらおうとはせず、ずっと秘密にしていました。
その結果、彼の死後になって多くの定理が見つかり、そのうちの一つがやがてフェルマーの最終定理と呼ばれることになります。
フェルマーはこの定理について、メモ書きで以下の文章を残しました。
『私はこの命題の真に驚くべき証明をもっているが、余白が狭すぎるのでここに記すことはできない』
こうしてフェルマーは答えを自分の頭に秘めたまま亡くなったため、答えはあるらしいが、誰も知らない。
そんな問題だけが残りました。
また本来であれば、この問題すら誰の目にも触れずに永久に失われる可能性がありましたが、フェルマーの長男であるクレマン・サミュエルがこのまま埋もれさせてはいけないと考え、五年の歳月をかけてフェルマーの残したメモや手紙を集め、吟味したのです。
そして『算術』の特別版として世に出し、世界中に知られることになりました。
敗北の三百年
こうしてフェルマーの残した発見は世に広まり、数学者たちは一つ一つ証明していきます。
しかし、それでも三百年という長い間、フェルマーの最終定理だけは証明できずにいました。
天才と呼ばれる数学者たちが挑み、証明できたと大騒ぎしては、証明の欠陥を指摘され、敗れていきました。
ですが、それらの証明が無駄だったのかというとそんなことはなく、新たな発見となって数学の発展に寄与し、その新しい発見をもって数学者たちは再びフェルマーの最終定理に挑んでいったのです。
この繰り返しがあったからこそ証明するための手段が整い、フェルマーの最終定理はついに証明されたのです。
日本人の功績
フェルマーの最終定理を証明するにあたって、多大なる貢献をした人物として谷山豊と志村五郎の名前が挙げられています。
彼らは『谷山＝志村予想』という考えを打ち出し、これが証明できれば自動的にフェルマーの最終定理を証明したことになるという段階までもっていったのです。
長い歴史の中で初めて希望が見えた瞬間でした。
ただし、それでも数十年は問題が解決せずにいたので、フェルマーの最終定理がいかに難しい問題かが分かると思います。
歴史的偉業
数々の数学者たちがフェルマーの最終定理に挑んだ結果、多くの定理が生まれ、1993年、ついにフェルマーの最終定理自身が証明される日が来ました。
証明したのはアンドリュー・ワイルズというイギリス人です。
彼は幼少期から数学の虜になり、中でもフェルマーの最終定理は簡単に見えたからこそ、自分でも解けるのではと意欲を燃やしたのです。
ワイルズは周囲に気づかれないよう一人でフェルマーの最終定理に挑み、時にはこれまでの数学者たちの失敗から学び、時には最新の考えを用いてついにフェルマーの最終定理を証明するという偉業を成し遂げました。
しかし、これでフェルマーの最終定理に対する問題が無くなったわけではありません。
確かにワイルズはこの問題を証明しましたが、それは十七世紀の命題を二十世紀の知識で証明したに過ぎません。
もしフェルマーが書き残した通り、彼がこの問題に対する証明を持っていたのであれば、十七世紀のテクニックを使ったはずです。
こうして今もなお多くの数学者たちはフェルマーのオリジナルの証明を求め、この問題に挑み続けているのです。
おわりに
たった一行の数式にこれだけのドラマがあるのかと思うと、つい数学の魅力に引き込まれてしまいそうです。
またこれだけの問題を、数学の知識のない人にも分からないよう本書で説明したサイモン・シンには脱帽する思いです。
本書は数学が好き嫌いにかかわらず、多くの人を感動させることが出来る名作です。
ぜひ興味を持った方は、一度読んでみてはいかがでしょうか。
フェルマーの最終定理のみならず、数学の秘めた魅力、ロマンにきっと魅了されるはずです。
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